Реактивний рух

Нерелятивістська ракета

У реактивних двигунах сила тяги створюється продуктами згоряння палива, які викидаються у напрямку, протилежному до напрямку сили. Вона виникає за третім законом Ньютона як сила реакції і тому називається реактивною, а двигун – реактивним.

Нехай ракета, яка має в момент часу t масу М(t) і рухається із швидкістю  v, викидає масу ∆m із швидкістю u (v,u – швидкості відносно ІСВ, в якій розглядаємо рух, але не відносно ракети).

ЗЗІ: (M + ∆m) (v + ∆v) + u∆m = Mv

де:  Mv – повний імпульс системи в момент часу t;

        (M + ∆m) (v + ∆v) + u∆m – імпульс системи в момент часу (t + ∆t) .

З останнього співвідношення отримуємо:

M∆v +v∆m - u∆m = 0.

Причому доданком ∆v∆m знехтувано як нескінченно малим членом другого порядку малості.

M∆v =( u – v)∆m            ·1/∆t

Отримаємо:

M∆v/∆t =( u – v)∆m/∆t = -u_o ∆m/∆t 

Останнє рівняння описує рух ракет з нерелятивістськими швидкостями при відсутності зовнішніх сил.

Якщо на ракету діє сила F, то рівняння руху набуде вигляду:      

M∆v/∆t = F -µu_o

Величину F_р =  -u_o ∆m/∆t  = -µu_o

називають реактивною силою. Якщо u_o  протилежне до  v, то ракета прискорюється, а якщо u_o та v співнапрямлені, то гальмується.

Формула Ціолковського.

Розглянемо прискорення ракети при прямолінійному русі, вважаючи, що швидкість викидання газів відносно ракети стала.

M∆v/∆t = -u_o ∆m/∆t 

Знак «-« зумовлений тим, що швидкість u_o  під час прискорення протилежна до швидкості  v. Нехай   v_о, М_о – швидкість і маса ракети перед початком прискорення. Тоді розділивши змінні та про інтегрувавши останнє рівняння отримаємо:

Останню формулу називають формулою Ціолковського, котра показує зміну швидкості ракети, коли її маса змінюється від М_о до М, і дає відповідь на питання про масу ракети при зміні її швидкості від v_o  до v. При початку руху (прискорення)  v_o = 0 і:

М_о/М = еxp(u_o/v).

Із формули бачимо, що для досягнення максимальної швидкості при мінімальній витраті палива ( при мінімальній різниці М_о і М ) слід збільшувати швидкість u_o витікання газів.

Доцільно прочитати:

• 1. Робота, потужність ( якісні задачі).
• 2. Імпульс ( якісні задачі).
• 3. Динаміка ( якісні задачі).
• 4. Енергія (якісні задачі).