Закони Кеплера
 |
| Прояв гравітації |
Відомо, довільні два масивні тіла притягуються один до одного. Це фізичне явище називається гравітацією (від лат. Gravis – важкий).
Прояв гравітації : водопади; важкість портфеля з підручниками; падіння (і як наслідок – руйнування) улюбленого горняти…
Наскільки великими є сили гравітаційного притягання (гравітаційне відштовхування не спостерігається)?
Два учні, масами по 50 кг, котрі розмовляють між собою, взаємодіють із силою 1,6·10-7 Н ( 1Н дорівнює вазі тіла масою 102г). Ця сила є дуже малою. Проте Земля (Мз = 6·1024кг) притягує Місяць (Мм = 7·1022кг) з силою 1020Н, а Сонце (Мс = 2·1030кг) притягує Землю з силою 1022Н! Cаме ці колосальні сили визначають рух планет в Сонячній системі, рух цілих Галактик… Гравітаційні сили є визначальними в розвитку Всесвіту та його майбутнього.
Сила, з якою взаємодіють довільні два масивні тіла, визначається законом Всесвітнього тяжіння (встановленим Ньютоном у 1687році):
де m1,m2 – маси взаємодіючих тіл; R – відстань між їх центрами; G = 6.67 ·10-11 H·м2/кг2 – гравітаційна постійна (вперше визначена у 1793 році Генрі Кавендішом). Зауваження: закон Всесвітнього тяжіння справедливий лише для точкових тіл, тіл сферичної або кулястої форми з незмінною густиною.
Закони Кеплера.
Узагальнюючи результати вікових астрономічних спостережень, Кеплер встановив закони, за якими рухаються планети у Сонячній системі.
Перший закон Кеплера.
Усі планети рухаються по еліптичних орбітах, в одному із фокусів яких знаходиться Сонце.
Другий закон Кеплера.
За рівні проміжки часу радіус-вектор планети описує рівні площі:
∆S = L·∆t/2m
Цей закон безпосередньо випливає із закону збереження моменту кількості руху.
Третій закон Кеплера.
Квадрати періодів обертання різних планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їхніх еліпсів:
T2/a3 = const
Нехай планета масою m рухається по коловій орбіті навколо зорі М. З другого закону Ньютона знаходимо:
(mω2R = GmM/R2) → (4π2R/T2 = GM/R2) → (T2/R3 = 4π2/GM = const)
Закони Кеплера застосовні не лише для руху планет, але і для руху їх природніх і штучних супутників.
Ньютон виявив деяку неточність у законах Кеплера і дещо узагальнив їх.
Узагальнений Ньютоном перший закон Кеплера:
Під дією сили тяжіння одне небесне тіло може рухатися навколо іншого по одній з наступних кривих: коло, еліпс, парабола, гіпербола.
Даний закон має універсальний характер і є справедливим не лише для планет, але і для всіх інших природніх і штучних небесних тіл.
Якщо розглянути систему Сонце – Земля, то, внаслідок взаємодії, і Сонце і Земля рухатимуться навколо спільного центру мас. Враховуючи відстань від Землі до Сонця (≈15·107 км), та відношення їх мас (1: 3,3·105), можемо знайти відстань від центра Сонця до спільного центра мас, котра дорівнює ≈450км (тобто спільний центр мас Землі і Сонця практично суміщається з центром Сонця).
(Mc(r – xз) = mзxз) → (xз = Mcr/(Mc + mз) )
З другого закону Ньютона:
4π2mзxз/T2 = GMcmз/r2
Підставивши в останнє рівняння хз отримаємо:
4π2Мсr/T2(Mc + mз) = GMc/r2
Тому:
(Mc + mз) T2/r3 = 4π/G = const
Останнє співвідношення називають: узагальнений Ньютоном третій закон Кеплера.