Спеціальна теорія відносності
1°. Постулати СТВ.
1. Усі фізичні явища (механічні, електромагнітні…) у всіх ІСВ за однакових умов протікають однаково.
2. Швидкість світла у вакуумі не залежить від швидкості руху джерела світла і є однаковою у всіх ІСВ.
Перший принцип є узагальненням класичного принципу
відносності Галілея щодо механічних явищ та принципу відносності А.Пуанкаре
щодо електромагнітних явищ.
Другий принцип сформульовано як результат узагальнення
експериментальних даних дослідів Майкельсона – Морлі, котрі довели відсутність
абсолютної СВ – ефіру, та ствердили, що швидкість світла не залежить від
швидкості руху Землі (орбітальна швидкість нашої планети сягає 30 км/с).
Перший принцип – постулат СТВ слід розуміти так: рівняння,
які описують закони природи, є інваріантними відносно переходу від однієї ІСВ
до іншої.
2°. Перетворення Лоренца.
Перетворення системи координат, які слід виконати, щоб
правильно описати події у різних ІСВ відповідно до вимог СТВ, виконав Лоренц.
Перетворення, які слід застосовувати для переходу від ІСВ
К´ до ІСВ
К:
х = (х´ +vt´)/(1 – v2/c2)1/2; у = у´; z = z´;
t = (t´ + x´·v/c2)/(1 – v2/c2)1/2.
Для переходу від системи К до К´ маємо:
х´ = (х -vt)/(1 – v2/c2)1/2; у´ = у; z´ = z;
t´ = (t - x·v/c2)/(1
– v2/c2)1/2.
У випадку малих швидкостей v<<c перетворення
Лоренца переходять у класичні перетворення Галілея.
3°. Наслідки перетворень Лоренца.
- Зменшення довжини тіла.
 |
Довжина стержня в ІСВ К', де він нерухомий, більша від його довжини, виміряної в ІСВ К, щодо якої він рухається.
L = x2 – x1 - довжина стержня в ІСВ К.
L´ = x2´– x1´ = (х2 -vt)/(1 – v2/c2)1/2 - (х1 -vt)/(1 – v2/c2)1/2 =
= (х2 –х1)/(1 – v2/c2)1/2 = L/(1 – v2/c2)1/2,
L´ = L/(1 – v2/c2)1/2.
Отже L´< L і:
Стержень, який спостерігаємо з ІСВ, відносно якої він рухається, коротший, ніж у системі, де він нерухомий.
Це правило універсальне, воно не залежить від фізичної природи об’єкта і
характеризує властивість простору-часу.
- Сповільнення часу.
Нехай у К´ відбулось дві події в точці М(x´,y´, z´) в моменти часу t1´ та t2´ (наприклад, народження і смерть деякого об’єкта). Припустимо,
що ці дві події реєструє спостерігач із ІСВ К, відносно якої К´ рухається паралельно
осі Ох зі швидкістю v. Відповідно, часовий інтервал Δt у К:
Δt = t2 – t1 = (t2´ + x´·v/c2)/(1 – v2/c2)1/2 - (t1´ + x´·v/c2)/(1 – v2/c2)1/2 = (t2´ - t1´)/(1 – v2/c2)1/2 = Δt´/(1 – v2/c2)1/2.
Отже Δt´< Δt, тобто:
Інтервал часу між двома наступними подіями більший у ІСВ, яка рухається, ніж у тій, що перебуває у стані спокою, або рухомий годинник іде повільніше ніж нерухомий.
- Інтервал між подіями.
У класичній фізиці відстань між двома довільними точками Δr, а також проміжок
часу між двома довільними подіями, не
змінюється при переході від однієї ІСВ до іншої, тобто вони є інваріантами
перетворень Галілея.
У релятивістській фізиці ні Δr, ні Δt не є інваріантами.
СТВ визначає вираз ΔS, який є інваріантом
перетворень Лоренца.
Величина
ΔS = {c2(t2 – t1)2 – [(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2]}1/2
Має однакове значення в усіх ІСВ і її називають ІНТЕРВАЛОМ між подіями.
Останній вираз натякає нам на 4-вимірність нашого простору-часу,
координатами якого є (x, y, z, ct).
- Релятивістський закон додавання швидкостей.
Якщо тіло М рухається у ІСВ К´ зі швидкістю ux´ вздовж осі Ох, а сама
система К´ має швидкість v, то спостерігач у системі К зафіксує швидкість u, яка дорівнює:
u = Δx/Δt = (Δх´ +vΔt´)/(Δ t´ + Δx´·v/c2) = (v +Δх´/ Δt´)/(1 + v/c2· Δx´/ Δ t´) = (v + ux´)/(1 + v·ux´/c2).
Зворотний вираз:
ux´ = ( ux - v)/(1 - v·ux/c2).
Отримані вирази – це правильний закон додавання
швидкостей.
4°. Релятивістська динаміка.
- Релятивістський імпульс та маса у СТВ.
З’ясовано, щоб 2-й закон
Ньютона був інваріантним стосовно перетворень Лоренца, маса тіла має мати
наступний вигляд:
m = m0/(1 – v2/c2)1/2
де m0 – маса спокою тіла,
виміряна в нерухомій ІСВ.
Релятивістський імпульс набуває при цьому наступного
вигляду:
р = m0v/(1 – v2/c2)1/2
А основний закон динаміки
F = dp/dt = d/dt·(m0v/(1 – v2/c2)1/2.
- Енергія у СТВ.
А.Айнштайн довів, що повна енергія рухомого тіла
Е = Е0 + Т = m0c2
+ T = mc2
Дде Е0 = m0c2 – власна енергія тіла (енергія спокою).
Т – кінетична енергія:
Т = Е – Е0 = (m –
m0)c2
= m0c2(1/(1 – v2/c2)1/2 –
1).
Повна енергія, маса спокою та імпульс пов’язані між собою
формулою
Е2 = m02c4 + р2с2.
Доведемо це.
Е2 = m2c4
= m02c4/(1 – v2/c2) = (m02c4
+ m02c2v2
- m02c2v2)/(1 – v2/c2) =( m02c4(1 – v2/c2) + m02c2v2)/(1 – v2/c2) = m02c4 + р2с2.