Один із методів розв'язку задач
Познайомимось з методом, котрий існує з часів великого Ньютона. Найчастіше його використовують при перевірці правильності отриманих формул, значно рідше – при розв’язку конкретних задач і отриманні певної функційної залежності.
Минаючи певні математичні особливості обгрунтування цього методу сформулюю коротко його сутність:
Нехай розмірна фізична величина f залежить від інших розмірних величин A, B, C, D…, тоді формула зв’язку всіх цих величин може мати лише такий вигляд:f = k AαBβCγDδ…
В останньому співвідношенні к – певна невідома константа, яку неможливо визначити точно за допомогою цього методу. Показники степені α,β,γ,δ… обчислюються з умови тотожності розмірностей правої і лівої частини співвідношення.
ЗАДАЧА. Отримати методом розмірностей формулу періоду коливань математичного маятника.
Із експерименту відомо, що період коливання математичного маятника може залежати від довжини нитки, маси тягарця, прискорення вільного падіння і, тому,
T = k•lαgβmγ
[ T ] = [ lαgβmγ ]
c1 = мαмβс-2βкгγ
З останнього співвідношення з умови тотожності розмірностей обох частин отримаємо систему з трьох алгебраїчних рівнянь для знаходження показників степенів
1 = -2β
0 = α + β
0 = γ
Розв’язок системи наступний: β = ½, α = ½, γ = 0. Враховуючи це, формула періоду коливань набуває наступного вигляду
T = k•l1/2g-1/2m0
Остання формула вказує на те, що період коливань математичного маятника не залежить від маси вантажа. Невідомою залишається константа к, яку слід шукати експериментально (вона дорівнює к = 2π). Тоді шукана формула набуває вигляду
T = 2π(l/g)1/2
ЗАДАЧА (самостійно). Визначіть період обертання планети навколо своєї осі, якщо її маса М, радіус R і гравітаційна постійна γ.
( Відповідь: T = 2π(R3/γМ)1/2 )
ЗАДАЧА (самостійно). Визначіть методом розмірностей формулу кінетичної енергії тіла, якщо К = ½ f(m,v).