Основне рівняння МКТ (виведення)
 |
| Траекторія руху однієї частинки. |
Розглянемо ідеальний газ. (Пригадаємо, що ідеальний газ –
це модель реального газу в якому:
1) відсутня взаємодія між молекулами;2) молекули – матеріальні точки певної маси (займають безмежно малий об’єм в порівнянні з об’ємом посудини);3) при зіткненні між собою та зі стінками посудини ведуть себе як пружні кульки;4) молекули рівномірно розподілені по об’єму).
Дана речовина займає об’єм V та
складається із великої кількості частинок N.
Газ
перебуває у стані теплової рівноваги у якій N1 частинок
володіють швидкостями v1; N2 – v2; N3 – v3: …
Обрахуємо тиск
газу на елемент поверхні ΔS на
основі молекулярно -кінетичної теорії (МКТ) та механіки Ньютона. При цьому
враховуватимо, що удари молекул (атомів, іонів) пружні, молекули масивні (m) та молекули тотожні між собою.
Розглянемо рух однієї частинки – молекули. Внаслідок
зіткнення зі стінкою, вона змінює імпульс:
 |
| Зміна імпульсу однієї частинки під час зіткнення з перешкодою. |
Δр = - 2mv1x
Сила, зякою діють молекули 1-го сорту на площадку ΔS:
ΔF1x = 2mv1x ΔN1/ Δt
де – ΔN1 – число
зіткнень молекул зі швидкостями v1 з площадкою ΔS за час Δt.
 |
| До розрахунку кількості зіткнень. |
Прорахуємо число зіткнень ΔN1:
ΔN1 = ½•N1v1x Δt ΔS/V
Коефіцієнт ½ пояснюється хаотичністю руху частинок (лише
половина частинок рухаються вліво).
Тому значення сили
ΔF1x набуває наступного вигляду:
ΔF1x = 2mv1x ΔN1/ Δt = … = mv21x N1 ΔS / V
Повна сила, яка діє на площадку ΔS зі сторони
всіх молекул, що мають різні швидкості:
ΔFx = ΔF1x + ΔF2x + ΔF3x + … = mv21x N1 ΔS / V +
+ mv22x N2 ΔS / V + mv23x N3 ΔS / V + …
+ mv22x N2 ΔS / V + mv23x N3 ΔS / V + …
Шукане
значення тиску р дорівнює:
р = ΔFx/ ΔS = (v21x N1 + v22x N2 + v23x N3 + …)m/V =
= N‹vx2›m/V,
= N‹vx2›m/V,
де ‹vx2› -
середнє значення квадрата складової швидкості молекули в напрямку осі Ох.
Оскільки в силу хаотичності руху усі напрямки є
рівноправними, тому
‹v2› = ‹vx2› + ‹vн2› + ‹vя2› = 3‹vx2›.
Підставляючи останнє співвідношення у рівняння для тиску
отримуємо основне рівняння МКТ, яке було отримане лише з використанням законів
Ньютона та основних положень молекулярно- кінетичної теорії.
pV
= ⅓mV‹v2› = ⅓nm‹v2› = ⅔n‹Ek›
Інша форма запису основного рівняння МКТ
pV = ⅔N‹Ek› ; p = ⅓ρ‹v2›.
Враховуючи значення середньої квадратичної швидкості із
розподілу молекул по швидкостях, встановленим Максвелом у 1859 році отримаємо:
Vс.кв. = (3кТ/m)1/2 ; ‹Ek› = 3kT/2.
Підставляючи значення середньої кінетичної енергії
поступального руху молекул в основне рівняння МКТ отримаємо ще одну формулу
для знаходження тиску ідеального газу:
p = nkT
р - тиска газу; к - постійна Больцмана; Т - температура газу.
Доцільно прочитати: