субота, 21 січня 2012 р.

Дивовижні криві

Математичні криві у фізиці

Поговоримо про найпростіші криві, котрі часто зустрічаються при вивченні шкільного курсу фізики.

Пряма та коло.
Найбільш простими є пряма та коло, котрі, поза сумнівом, є найбільш вивченими. Найдивовижнішим для цих ліній є те, що пряма є частковим випадком кола великого радіуса.

Еліпс.
Мал. 1
Розглянемо криву, котру описує точка М так, що сума відстаней цієї точки до двох нерухомих точок F1, F2  є незмінною (мал.1). Отриману криву називають еліпсом. 

Для еліпса є справедливим (мал. 2):
F1, F2  - фокуси еліпса,
F1М + F2М = А1А2 = const, де М – довільна точка еліпса,
В1, В2, А1, А2 – вершини еліпса,
А1F2 + A2F2 = А1А2 – велика піввісь еліпса,
В1В2 – мала піввісь еліпса.


Будуємо еліпс


 
Мал. 2
Еліпси зустрічаємо в природі та побуті.

1. Якщо у фокусі еліпса розмістити джерело світла, а сам еліпс виготовити з добре відполірованої поверхні металу, то промені, відбившись від цієї поверхні зберуться в другому фокусі (мал. 3).

Мал. 3

2. Кеплером встановлено закон, згідно якого планети рухаються навколо Сонця по еліпсах, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце (мал. 4).

Мал. 4
Земля, обертаючись навколо Сонця, проходить перигелій взимку, а афелій – влітку. Однак еліпс є мало сплюснутим і з вигляду більше схожий до кола.

Мал. 5
3. Еліпс отримуємо в результаті розрізу циліндра, конуса січною (так, щоб площина розрізу не проходила через основу, мал. 5).

4. Еліпс спостерігаємо у повсякденному житті: крива, котра обмежує поверхню води в нахиленій склянці буде еліпсом, як і обриси ковбаси на мал. 6 .

Мал. 6
Парабола.
Іншою дивовижною кривою є парабола (мал. 7).

Мал. 7
1. Параболічне дзеркало.
Якщо вигнути смужку  добре відполірованого металу по дузі параболи, то промені джерела світла, розміщеного у фокусі, відбившись від смужки, підуть паралельно осі. І навпаки, паралельний пучок світлових променів параболічна дуга збирає у фокусі (мал. 8).

Мал. 8
На цій властивості параболи грунтується дія параболічних дзеркал, які використовуються в автомобільних фарах, прожекторах, телескопах оптичного та радіо- діапазонів.

2. Камінь, кинутий під кутом до горизонту, летітиме по кривій, котру наз. парабола (також артилерійські снаряди, вода з брандсбойта, …). Але такою траекторія буде при русі в порожнечі (при відсутності повітря).

Мал. 9
Якщо стріляти з  гармати з однією і тією ж швидкістю в різні напрямки і під різними кутами до горизонту, то отримаємо сукупність точок, куди долітатимуть снаряди. А місця, куди кулі не долітатимуть, відділяються кривою, котру наз. параболою безпеки (мал. 10).
Мал. 10

Гіпербола.
Проводячи січну через конус, ми отримуємо ще одну дивовижну криву – гіперболу (мал. 11).

Мал. 11
Циклоїда.
Яку траекторію описує точка ободу колеса автомобіля або велосипеда в процесі руху?

Мабуть кожен знає відповідь на поставлене запитання – це циклоїда (мал. 12).
Мал. 12
Багатьом відома інша назва цієї кривої – «брахістрохорна». Цю назву складено з двох грецьких слів: «найкоротший» та «час».

-брахістрохорна-


ЗАДАЧА. 
Яку форму слід надати ідеально відполірованому жолобу, щоб ідеальна металева кулька скотилася по ньому за НАЙКОРОТШИЙ ЧАС?
Мал. 13
Найкоротший шлях буде – прямолінійним жолобом. Але у задачі йдеться про найкоротший час. Г.Галілей передбачав, що жолоб найкоротшого часу – дуга кола, але він помилявся. Лише швейцарські математики – брати Бернуллі – точними розрахунками доказали, що жолоб слід вигинати по дузі перевернутої циклоїди (мал. 13). З тих пір циклоїду прозвали брахістрохорною, а доведення Бернуллі дало початок нової галузі математики – варіаційного числення.

Спіраль.
Уявімо собі довгу секундну стрілку, по котрій повзе з постійною швидкістю гусінь. В початковий момент вона знаходилась в центрі циферблату. Якою буде траекторія комахи?
Спіраль Архімеда в природі
Крива, котру описує гусінь, називається спіраль Архімеда (на честь вченого, котрий вперше її дослідив).

Мал. 14
ЗАДАЧА. 
Чи можливо за допомогою циркуля та лінійки розділити на три рівні частини довільний кут?
Дана задача має розв’язок лише для кутів 180˚, 135˚, 90˚; для інших кутів точного розв’язку не існує. Але, якщо користуватися акуратно намальованою архімедовою спіраллю, то дану задачу можна розв’язати (мал. 14).




Доцільно прочитати


 
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...