Вектор

Варто знати

Вектор — це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком.
Під направленим відрізком AB→ розуміють впорядковану пару точок, перша з яких — точка A — називається його початком, а друга — B — його кінцем. В геометрії розглядають вектори, що не залежать від точки прикладання (вільні вектори).

Вектори позначають двома способами:

• малими буквами латинського алфавіту (наприклад, a⃗ );
• двома великими буквами латинського алфавіту (наприклад, AB→), де перша буква — початок вектора, а друга — кінець.

Графічно вектори зображають у вигляді направлених відрізків певної довжини AB→.

Рис. 1. Вектор AB з початком в A і кінцем в B.

Поняття вектора з'явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана та ірландського математика У. Гамільтона. Згодом воно було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. В сучасній математиці це поняття відіграє дуже важливу роль.

Чисельне значення a⃗  називається модулем чи довжиною і позначається |a⃗ |. Довжина вектора — це довжина відрізка, що зображає цей вектор.

Вектори AB→ і CD→ називають протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені півпрямі AB і CD.

Вектори AB→ і CD→ називають співнапрямленими, якщо співнапрямлені півпрямі AB і CD.

Рис. 2. Протилежно напрямлені вектори.

Рис. 3. Співнапрямлені вектори.

Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається 0⃗ . Нульовий вектор має довжину 0. Напрям нульового вектора не визначений. Нульовий вектор прийнято рахувати співнапрямленим з будь-яким вектором. Вважається, що нульовий вектор одночасно паралельний і перпендикулярний будь-якому вектору.

Колінеарними називаються вектори, які зображаються відрізками, що лежать на одній прямій чи на паралельних прямих.

Два вектора називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються.

Одиничний вектор (орт) — вектор, довжина якого рівна одиниці.

 

Вектори на площині

Числа

ax=x2−x1,ay=y2−y1

називаються координатами вектора a⃗  з початком A(x1;y1) і кінцем B(x2;y2).

Примітка 1. Всі координати нульового вектора дорівнюють нулю.

Примітка 2. Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні.

Вектор з координатами ax і ay позначається

(ax;ay)→.

Вектор a з координатами ax і ay позначається

a⃗ (ax;ay).

Використовуючи означення координат вектора довжину можна записати формулою

|a⃗ |=a2x+a2y−−−−−−√.

 

Дії над векторами на площині

Сумою векторів a⃗ (ax;ay) і b⃗ (bx;by) називають вектор

c⃗ (ax+bx;ay+by).

Геометрично суму двох векторів можна знайти за:

• правилом трикутника;
• правилом паралелограма.

Правило трикутника

Для складання двох векторів a⃗  і b⃗  за правилом трикутника обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника, що утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора.

Рис. 4. Правило трикутника.

Правило паралелограма

Для складання двох векторів a⃗  і b⃗  за правилом паралелограма обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, яка виходить з їх спільного початку.

Рис. 5. Правило паралелограма.

Різницею векторів a⃗  і b⃗  називають такий вектор c⃗ , який в сумі з b⃗  дає a⃗ .

Рис. 6. Різниця векторів.

Добуток вектора

(ax;ay)→.

на число λ називається вектор

(λax;λay)→.

Два вектори a⃗  і b⃗  колінеарні тоді і лише тоді, коли їх відповідні координати пропорційні

axbx=ayby.

Скалярним добутком векторів a⃗  і b⃗  називається число, яке рівне сумі добутків відповідних координат, тобто

a⃗ ⋅b⃗ =ax⋅bx+ay⋅by.

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто

a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ |⋅|b⃗ |⋅cos(a⃗ ;b⃗ ^).

де (a⃗ ;b⃗ ^) — кут між векторами a⃗  і b⃗ .