вівторок, 8 вересня 2015 р.

Вектор

Варто знати

Вектор — це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком.
Під направленим відрізком AB розуміють впорядковану пару точок, перша з яких — точка A — називається його початком, а друга — B — його кінцем. В геометрії розглядають вектори, що не залежать від точки прикладання (вільні вектори).

Вектори позначають двома способами:

  • малими буквами латинського алфавіту (наприклад, a⃗ );
  • двома великими буквами латинського алфавіту (наприклад, AB), де перша буква — початок вектора, а друга — кінець.
Графічно вектори зображають у вигляді направлених відрізків певної довжини AB.


Рис. 1. Вектор AB з початком в A і кінцем в B.
 
Поняття вектора з'явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана та ірландського математика У. Гамільтона. Згодом воно було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. В сучасній математиці це поняття відіграє дуже важливу роль.
 
Чисельне значення a⃗  називається модулем чи довжиною і позначається |a⃗ |. Довжина вектора — це довжина відрізка, що зображає цей вектор.
Вектори AB і CD називають протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені півпрямі AB і CD.
Вектори AB і CD називають співнапрямленими, якщо співнапрямлені півпрямі AB і CD.
Рис.2. Протилежно напрямлені вектори.
Рис. 2. Протилежно напрямлені вектори.
Рис.3. Співнапрямлені вектори.
Рис. 3. Співнапрямлені вектори.
Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається 0⃗ . Нульовий вектор має довжину 0. Напрям нульового вектора не визначений. Нульовий вектор прийнято рахувати співнапрямленим з будь-яким вектором. Вважається, що нульовий вектор одночасно паралельний і перпендикулярний будь-якому вектору.
Колінеарними називаються вектори, які зображаються відрізками, що лежать на одній прямій чи на паралельних прямих.
Два вектора називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються.
Одиничний вектор (орт) — вектор, довжина якого рівна одиниці.

 

Вектори на площині

Числа
ax=x2x1,ay=y2y1
називаються координатами вектора a⃗  з початком A(x1;y1) і кінцем B(x2;y2).
 
Примітка 1. Всі координати нульового вектора дорівнюють нулю.
 
Примітка 2. Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні.

Вектор з координатами ax і ay позначається
(ax;ay).
Вектор a з координатами ax і ay позначається
a⃗ (ax;ay).
Використовуючи означення координат вектора довжину можна записати формулою
|a⃗ |=a2x+a2y.

 

Дії над векторами на площині

Сумою векторів a⃗ (ax;ay) і b⃗ (bx;by) називають вектор
c⃗ (ax+bx;ay+by).
Геометрично суму двох векторів можна знайти за:
  • правилом трикутника;
  • правилом паралелограма.

Правило трикутника

Для складання двох векторів a⃗  і b⃗  за правилом трикутника обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника, що утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора.
Рис.4. Правило трикутника.
Рис. 4. Правило трикутника.

Правило паралелограма

Для складання двох векторів a⃗  і b⃗  за правилом паралелограма обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, яка виходить з їх спільного початку.
Рис.5. Правило паралелограма.
Рис. 5. Правило паралелограма.
Різницею векторів a⃗  і b⃗  називають такий вектор c⃗ , який в сумі з b⃗  дає a⃗ .
Рис.6. Різниця векторів.
Рис. 6. Різниця векторів.

Добуток вектора
(ax;ay).
на число λ називається вектор
(λax;λay).
Два вектори a⃗  і b⃗  колінеарні тоді і лише тоді, коли їх відповідні координати пропорційні
axbx=ayby.
Скалярним добутком векторів a⃗  і b⃗  називається число, яке рівне сумі добутків відповідних координат, тобто
a⃗ b⃗ =axbx+ayby.
Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто
a⃗ b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |cos(a⃗ ;b⃗ ^).
де (a⃗ ;b⃗ ^) — кут між векторами a⃗  і b⃗ .

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...