вівторок, 22 січня 2013 р.

Основне рівняння МКТ

Основне рівняння МКТ (виведення)

Траекторія руху однієї частинки.
     Розглянемо ідеальний газ. (Пригадаємо, що ідеальний газ – це модель реального газу в якому: 
1) відсутня взаємодія між молекулами; 
2) молекули – матеріальні точки певної маси (займають безмежно малий об’єм в порівнянні з об’ємом посудини);   
3) при зіткненні  між собою та зі стінками посудини ведуть себе  як пружні кульки;  
4) молекули рівномірно розподілені по об’єму).

Дана речовина займає об’єм V та складається із великої кількості частинок N

Газ перебуває у стані теплової рівноваги у якій N1 частинок володіють швидкостями v1;  N2v2; N3v3: …
  
Обрахуємо тиск газу на елемент поверхні  ΔS на основі молекулярно -кінетичної теорії (МКТ) та механіки Ньютона. При цьому враховуватимо, що удари молекул (атомів, іонів) пружні, молекули масивні (m) та  молекули тотожні між собою.

Розглянемо рух однієї частинки – молекули. Внаслідок зіткнення зі стінкою, вона змінює імпульс:
Зміна імпульсу однієї частинки під час зіткнення з перешкодою.

Δр = - 2mv1x

Сила, зякою діють молекули 1-го сорту на площадку ΔS:

ΔF1x = 2mv1x ΔN1/ Δt

де – ΔN1 – число зіткнень молекул зі швидкостями v1  з площадкою ΔS за час Δt.
До розрахунку кількості зіткнень.

Прорахуємо число зіткнень ΔN1:

ΔN1 = ½•N1v1x Δt ΔS/V

Коефіцієнт ½ пояснюється хаотичністю руху частинок (лише половина частинок рухаються вліво).

Тому  значення сили ΔF1x  набуває наступного вигляду:

ΔF1x = 2mv1x ΔN1/ Δt = … = mv21x N1 ΔS / V

Повна сила, яка діє на площадку ΔS зі сторони всіх молекул, що мають різні швидкості:
ΔFx = ΔF1x + ΔF2x + ΔF3x + … = mv21x N1 ΔS / V
+ mv22x N2 ΔS / V + mv23x N3 ΔS / V + …

Шукане значення тиску  р дорівнює:
р = ΔFx/ ΔS = (v21x N1 + v22x N2 + v23x N3 + …)m/V =
= Nvx2m/V,
де ‹vx2› - середнє значення квадрата складової швидкості молекули в напрямку осі Ох.

Оскільки в силу хаотичності руху усі напрямки є рівноправними, тому

v2› = ‹vx2› + ‹vн2› + ‹vя2› = 3‹vx2›.

Підставляючи останнє співвідношення у рівняння для тиску отримуємо основне рівняння МКТ, яке було отримане лише з використанням законів Ньютона та основних положень молекулярно- кінетичної теорії.

pV  = ⅓mVv2› = ⅓nmv2› = ⅔nEk

Інша форма запису основного рівняння МКТ

pV = ⅔NEk› ; p = ⅓ρv2›.

Враховуючи значення середньої квадратичної швидкості із розподілу молекул по швидкостях, встановленим Максвелом у 1859 році отримаємо:

Vс.кв. = (3кТ/m)1/2  ; Ek = 3kT/2.

Підставляючи значення середньої кінетичної енергії поступального руху молекул в основне рівняння МКТ отримаємо ще одну формулу для знаходження тиску ідеального газу:

p = nkT

У останній формулі: 
р - тиска газу; к - постійна Больцмана; Т - температура газу.


Доцільно прочитати:


Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...