Розподіл частинок у потенціальному силовому полі
Повний безлад, яким характеризується тепловий рух молекул, все ж таки має свої закони. Не дивлячись
на те, що кожна молекула постійно змінює свою швидкість, макроскопічний стан
газу в системі не змінюється (саме такі роздуми призвели до встановлення Максвелом
у 1859 році розподілу молекул газу по
швидкостях).
Рівноважний стан газу характеризується не тільки
розподілом молекул по швидкостях, але і по координатах. При відсутності
зовнішніх силових полів цей розподіл буде однорідним: газ рівномірно
розподіляється по всьому об’єму посудини.
Яким буде розподіл молекул газу при наявності поля
(наприклад поля тяжіння), яке діє на молекули?
Добре відомо, що атмосферний тиск зменшується з висотою.
Наприклад, на висоті 5 600 м тиск дорівнює ½ тиску на рівні моря. Однак
звідси не слід робити висновок, що на висоті вдвічі більшій зовсім немає
молекул – літаки літають і на висотах 30 000м.
Знайдемо розподіл молекул газу в однорідному полі тяжіння
з висотою.
Розглянемо вертикальний стовп газу з площею основи S і
виділимо на висоті h елемент (прошарок) Δh. Зауважу,
що даний елемент є настільки малий, що в ньому можна рахувати р=const, і настільки
великий, щоб можна було говорити про тиск молекул повітря цього прошарку.
Запишемо умову механічної рівноваги:
(p(h)S = Δmg + p(h+Δh)S) → (p(h) = ρgΔh + p(h+Δh)) → (p(h+Δh) - p(h) = - ρgΔh) →
→ (Δp = - ρgΔh).
З рівняння стану ідеального газу (рівняння Клапейрона-
менделєєва) знайдемо густану повітря у виділеному прошарку:
ρ = pμ/(RT).
Піставивши значення густини в умову рівноваги та
розділивши змінні отримаємо:
Δp/p = -(μg/(RT))•Δh.
Проінтегрувавши
останній вираз отримаємо:
lnp = -μgh/(RT) + lnC,
де С – деяка константа, яку знаходимо з умови, що тиск
повітря на нульовій висоті дорівнює одній атмосфері, тобто р0.
Пропотенціювавши
останній вираз отримуємо шукане значення тиску
Останні співвідношення називають барометричною формулою.
З цього співвідношення можемо зробити висновок, що тиск зменшується із висотою
тим швидше, чим важчий є газ (більше μ) і чим нижча температура.
Знаємо з основного рівняння МКТ, що p = nkT, тобто тиск
пропорційний концентрації. Підставляючи це в барометричну формулу, отримаємо
рівноважний розподіл молекул в довільному потенціальному полі, який носить
назву розподіл Больцмана.
Додатково.
Загальна теорія рівноважних статистичних розподілів була
створена Гібсом. Він показав, що в стані теплової рівноваги закон розподілу
молекул по довільній величині, що характеризує її стан (координата, швидкість,
енергія тощо) має експоненціальний характер, причому в показнику експоненти
стоїть взяте зі знаком мінус відношення
характерної енергії молекул до величини кТ, яка пропорційна середній
кінетичній енергії хаотичного руху молекул.
Готуючись до проміжного заліку не забудь вивчити:
Доцільно прочитати:
- 1.Молекулярна фізика. Ізопроцеси.
- 2. Молекулярно-кінетична теорія.
- 3. Нагріти, щоб швидше охолодити.
- 4. Температура - повторюємо поняття.
- 5. Основне рівняння МКТ
- 6. Модель ідеального газу.
- 7. Розподіл Максвела по швидкостях.