вівторок, 20 листопада 2012 р.

Формули наближених розрахунків


Вміло використовуємо математику при розв’язуванні задач з фізики.



При розв’язуванні багатьох задач з фізики з метою швидшого отримання кінцевого результату слід використовувати найпростіші формули наближених розрахунків. Ці формули базуються на наступному твердженні:


для довільних дійсних чисел к та дійсних х, що │х│< 1 справедливою є рівність:
(1 + x)к = 1 + k∙x/1 + k(k – 1)∙x2/1·2 + ∙∙∙


У випадку, коли │х│‹ 1, а к є порядку одиниці, то в безмежній сумі можна обмежитись лише двома першими складовими, тобто знехтувати доданками, котрі містять х2, х3, …, як безмежно малими величинами.

Тоді
(1 + х)к ≈ 1 + кх , при х << 1.

Справедливими є наступні формули наближених розрахунків:

(1 + х)2 ≈ 1 + 2х
(1 – х)2 ≈ 1 – 2х
(1 + х)-1 ≈ 1 – х
(1 – х)-1 ≈ 1 + х
(1 + х)1/2 ≈ 1 + х/2
(1 – х)1/2 ≈ 1 – х/2
е  ≈ 1 + х
е  ≈ 1 – х
ln(1 + x) ≈ +x
ln(1 – x) ≈ -x
                             sinxtgxx,          х < 0,077 рад (4,4º)
cosx ≈ 1 – x2/2


Розрахунок за даними формулами дає наближений результат, відмінний від точного лише на 0,1%.

Приклад.
Обчислити з наближенням, якщо │а│<< А.
(А + а)/(А – а) = (1 + а/А)/(1 – а/А) ≈ (1 + а/А)(1 + а/А) = (1 + а/А)2 ≈ 1 + 2а/А.
Якщо, наприклад, А = 100, а = 1, то (А + а)/(А – а)  ≈ 1,02, а точно (А + а)/(А – а) = 1,020202… 





Доцільно прочитати



Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...