Додавання взаємно
перпендикулярних коливань
Фігури Ліссажу
 |
| Фігури Ліссажу. Відношення a/b - відношення власних частот незатухаючих коливань |
Розглянемо коливальну систему, яка складається з точкової маси m та зв’язаних з нею чотирьох пружин (мал. 1 вид зверху). Така система володіє двома ступенями вільності.
 |
| Мал. 1 |
При невеликих зміщеннях
коливання відбуватимуться у двох взаємно перпендикулярних напрямках незалежно
одне від одного:
із власними частотами
гармонічних коливань
Знайдемо траєкторію руху
коливальної частинки у випадку, коли частоти рівні між собою:
ω01 = ω02
= ω0,
жорсткості всіх пружин однакові. Виключаючи із рівнянь коливань час та здійснюючи певні тригонометричні перетворення отримуємо наступне рівняння:
Проаналізувавши його, робимо висновок, що траєкторією руху вантажу є еліпс.
 |
| Мал. 2.1 |
Таким чином, в загальному випадку, вантаж здійснюватиме періодичні коливні рухи по еліптичній траєкторії. Напрям руху вздовж траєкторії та орієнтація еліпса відносно осей залежить від початкової різниці фаз Δφ = φ2 – φ1 (мал. 2.1, 2.2).
 |
| Мал. 2.2 |
Якщо частоти двох
взаємно перпендикулярних коливань не співпадають, проте є кратними між собою mω02 = nω01,
то траєкторіями руху вантажу будуть замкнені криві – фігури Ліссажу (мал. 3).
 |
| Мал. 3 |
У випадку, коли кратність відсутня, то траєкторії не будуть замкненими, і поступово заповнюватимуть весь доступний простір (мал. 3).
 |
| Мал. 4 Фігури Ліссажу залежать від відношення частот (a/b) та початкової різниці фаз Δφ. |
