Рівняння Клапейрона-Клаузіуса

 Рівняння Клапейрона-Клаузіуса

Насичена пара в атмосфері

Кількісний зв'язок між тиском насиченої пари речовини та її температури відображає рівняння Клапейрона-Клаузіуса.

Розглянемо підвищення тиску насиченої пари Δр під час зміни її температури на ΔТ. Для цього застосуємо міні цикл Карно, де за робочу речовину служить двофазова система рідина-насичена пара. Нехай у стані 1 двофазна система має температуру Т і тиск р.

За сталого тиску будемо ізотермічно розширювати систему, при цьому 1 кг рідини перейшов у насичену пару.

Під час 1-2 система отримала від нагрівника кількість теплоти q, яка дорівнює питомій теплоті пароутворення. 2-3 – адіабатичне розширення; 3-4 – ізотермічний стиск (1 кг пари конденсується у рідину); 4-1 – адіабатичний стиск.

Цикл Карно для двофазної системи рідина-насичена пара

Якщо V₁ – питомий об’єм газоподібної фази; V₂ – питомий об’єм рідкої фази, то відповідні параметри (Т, V₁) та (Т-ΔТ, V₂).

Коефіцієнт корисної дії (ККД)  цього циклу (циклу Карно):  

 ККД = ΔТ/Т                   (1)

З іншої сторони ККД – це відношення корисної роботи до затраченої теплоти. 

Наближене значення роботи ΔА = Δр(V₁ – V₂), Δр, ΔТ – малі величини. Затрачена робота – q.

Тому, з іншої сторони 

ККД = ΔА/q = Δр(V₁ – V₂)/q        (2)

Прирівнюючи праві сторони (1) та (2)  отримаємо:

ΔТ/Т  = Δр(V₁ – V₂)/q  

Якщо ΔТ→0, то отримуємо рівняння Клапейрона-Клаузіуса:

dp/dT = q/T∙(V₁ – V₂)

Отримане рівняння пов’язує тиск, за якого у рівновазі перебуває двофазна система, з температурою. Значення dp/dT дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої залежності тиску насиченої пари від температури.

Рівняння Клапейрона-Клаузіуса застосовне не лише для фазового переходу рідина-пара, але і до всіх фазових переходів І-го роду.

Якщо q – питома теплота пароутворення (кількість теплоти, яку необхідно затратити для того, щоб перетворити 1 кг рідини в пару при постійній температурі), то q_μ = μq – молярна теплота пароутворення;  V_μп – молярний об’єм пари, V_μр – молярний об’єм рідини. Тоді залежність тиску насиченої пари р_н від температури (рівняння Клапейрона-Клаузіуса) задається співвідношенням:

dp_н /dT = q_μ/T∙(V_μп – V_μр).

Задача.

Користуючись рівнянням Клапейрона-Клаузіуса знайдіть питому теплоту пароутворення q води при температурі t=5°C. р_н (5°С) = 870 Па.

Розв’язання.

• dp_н /dT = q/T∙(V_μп – V_μр)

• V_μп = RT/p (m/μ = 1 моль),  V_μп = 8,31∙278/870 = 2,55 м³/моль

• V_μр = μ/ρ_р = 0,018/1000 = 18∙10^-6 м³/моль

• V_μр << V_μп,  тому dp /dT = q_μp/(RT²)  → dp/p = (q/RT²)dT

Для невеликого інтервалу температур Т₂ – Т₁ молярну теплоту пароутворення q_μ вважатимемо постійною величиною.

Інтегруючи останній вираз отримаємо:

• ln(p₂/p₁) = q_μ∙(Т₂ – Т₁)/(RТ₂Т₁) → q_μ = RТ₂Т₁∙ln(p₂/p₁)/(Т₂ – Т₁)

В останній формулі р₁, р₂ – тиск насиченої пари при температурах Т₂ та Т₁.

В задачі слід обчислити питому теплоту пароутворення q при температурі t=5°C.

Тому візьмемо t₁ = 4°, t₂ = 6°,  при яких тиски насиченої пари відповідно дорівнюють 811 Па та 932 Па, і p₂/p₁ = 1,15.

Тоді:

•  q_μ = ½∙ 8,31∙277∙279∙ln1,15 = 45∙10³ Дж/моль

Питома теплота пароутворення

• q = q/μ = 2,49 MДж/кг.

Отримане значення добре узгоджується з експериментальним.

Доцільно прочитати:

• 1. Ізопроцеси.
• 2.Модель реального газу.
• 3. Насичена пара.
• 4. Вологість повітря.
• 5. Начала термодинаміки. 
• 6. Модель ідеального газу