Робота та потенціал в електриці

1°. Робота в електричному полі.

Мал. 1 Робота електричних сил при малому переміщенні
Δl заряду q.

При переміщенні пробного заряду q в електричному полі електричні сили виконують роботу. Ця робота при малому переміщенні Δl дорівнює (мал. 1): 

ΔA = F∙Δl∙cosα = qEΔlcosα = qE_lΔl.

Електричне поле володіє важливою властивістю:

Робота сил електростатичного поля при переміщенні заряду з одної точки поля в іншу не залежить від форми траєкторії, а визначається лише положенням початкової і кінцевої точок і величиною заряду.

Подібну властивість має гравітаційне поле, і це зрозуміло, оскільки гравітаційні та кулонівські сили описуються  подібними співвідношеннями.

Наслідком незалежності роботи від форми траєкторії є наступне твердження:

Робота сил електростатичного поля при переміщенні заряда по будь-якій замкненій траєкторії дорівнює нулю.

Силові поля, які мають таку властивість, називають потенціальними або консервативними.

Мал.2 Робота кулонівських сил при переміщенні заряду q не залежить від траекторії, а залежить лише від початкового та кінцевого положень: r₁ та r_2.

На мал. 2 зображено силові лінії кулонівського поля точкового заряду Q і дві різні траєкторії переміщення пробного заряду q з початкової точки (1) в кінцеву точку (2). На одній з траєкторій виділено мале переміщення Δl. Робота ΔA кулонівських сил на цьому переміщенні дорівнює: 

ΔА = FΔl∙cosα = qEΔr = QqΔr/(4πε₀∙r²).

Отже, робота на малому переміщенні залежить тільки від віддалі  r між зарядами і його зміни  Δr. Якщо цей вираз проінтегрувати на інтервалі від r = r₁ до r = r₂, то отримаємо:

Отриманий результат не залежить від форми траєкторії. На траєкторіях I і II, зображених на мал. 2, роботи кулонівських сил однакові. Якщо на одній з траєкторій змінити напрям переміщення заряду q на протилежний, то робота теж змінить знак. 

Звідси випливає, що на замкнутій траєкторії робота кулонівських сил дорівнює нулеві.

Якщо електростатичне поле створює декілька точкових зарядів Q_i, то при переміщенні пробного заряду q робота A результуючого поля відповідно до  принципу суперпозиціі буде складатися з робіт A_i кулонівських полів точкових зарядів: А = ∑А_і . Оскільки кожен член суми A_i не залежить від форми траєкторії, то і повна робота A результуючого поля не залежить від шляху і визначається лише положенням початкової і кінцевої точок траєкторії. 

2°. Потенціальна енергія в електриці.

Властивість потенціальності електростатичного поля дозволяє ввести поняття потенціальної енергії заряду в електричному полі. Для цього в просторі вибирають деяку точку (0), і потенційну енергію заряду q, розташованого в цій точці, приймають рівною нулеві.

Потенціальна енергія заряду q, розташованого в будь-якій точці (1) простору, відносно фіксованої точки (0) дорівнює роботі A10, яку виконає електричне поле при переміщенні заряда q з точки (1) в точку (0):

(В електростатиці енергію прийнято позначати літерою W, так як літерою E позначають напруженість електричного поля.)

В електриці фізичний зміст має не сама потенціальна енергія, а різниця її значень в двох точках простору.

Робота, виконана електричним полем при переміщенні точкового заряду q з точки (1) в точку (2), дорівнює різниці значень потенційної енергії в цих точках і не залежить від шляху переміщення заряду і від вибору точки (0).

A₁₂ = A₁₀ + A₀₂ = A₁₀ – A₂₀ = W_p1 – W_p2

3°. Потенціал.

 

Потенціальна  енергія заряду q, котрий знаходиться в електричному полі, пропорційна до величини цього заряду.

Фізичну величину, яка дорівнює відношенню потенційної енергії електричного заряду в електростатичному полі до величини цього заряду, називають потенціалом φ електричного поля:

φ = W_p/q.

Потенціал φ є енергетичною характеристикою електростатичного поля.

Робота A₁₂ по переміщенню електричного заряду q з початкової точки (1) в кінцеву точку (2) дорівнює добутку заряду на різницю потенціалів (φ₁ – φ₂) початкової і кінцевої точок: 

A₁₂ = W_p1 – W_p2 = qφ₁ – qφ₂ = q(φ₁ – φ₂).

В Міжнародній системі одиниць (СІ) одиницею потенціалу є вольт (В). 

1 В = 1 Дж / 1 Кл.

В багатьох задачах електростатики для обчислення потенціалів за опорну точку (0) зручно прийняти безмежно віддалену точку. В цьому випадку поняття потенціала можна визначити так:

Потенціал поля в даній точці простору дорівнює роботі, яку здійснюють електричні сили для перенесення одиничного додатного заряду з цієї точки на безмежність.

φ_∞ = А_∞/q.

Потенціал φ_∞ поля точкового заряду Q на віддалі r від нього відносно безмежно віддаленої точки обчислюють так:

Для графічного представлення електричного поля разом з силовими лініями використовують еквіпотенціальні поверхні.

Поверхня, у всіх точках якої потенціал електричного поля має однакові значення, називається еквіпотенціальною поверхнею або поверхнею рівного потенціалу.

Силові лінії електричного поля завжди перпендикулярні еквіпотенціальним поверхням.

 

Мал. 3 Еквіпотенціальні поверхні та силові лінії простих електричних полів.

Еквіпотенціальні поверхні кулонівського поля точкового заряду – концентричні сфери. На мал. 3 зображено картини силових ліній і еквіпотенціальних поверхней деяких простих електростатичних полів.

В випадку однорідного поля еквіпотенціальні поверхні зображаються системою паралельних площин.

Якщо пробний заряд q здійснив мале переміщення Δl вздовж силової лінії з точки (1) в точку (2), то можна записати: 

ΔA₁₂ = qEΔl = q(φ₁ – φ₂) = – qΔφ,

де Δφ = φ1 – φ2 – зміна потенціалу. Звідси випливає:

Це співвідношення в скалярній формі відображає зв’язок між напруженістю поля і потенціалом. Тут l – координата вдовж силової лінії.

За принципом суперпозиції напруженість полів, створених електричними зарядами, випливає принцип суперпозиції для потенціалів:

φ = φ₁ + φ₂ + …+ φ_n.

Доцільно прочитати:

• 1. Електричний заряд.
• 2. Закон Кулона.
• 3.Теорема Гауса.
• 4. Електричне поле.
• 5. Закон Ома для електролітів.
• 6. Закон Ома.