МАТЕМАТИКА

                             Математика для фізиків                       

Основні формули тригонометрії, котрі використовують при розв’язуванні задач з фізики.

                Логарифми (основні формули)                     

Основні формули тригонометрії

 Формули подвійного аргументу

Співвідношення між sinα, cosα, tg(α⁄2), ctgα

 Формули додавання

 Формули перетворення суми в добуток

Додаткові формули

 Формули перетворення добутку в суму

Формули зведення

 Основні теореми

Теорема синусів

a/sinA = b/sinB = c/sinC

Теорема косинусів

a² = b² + c² – 2bc•cosA

Теорема тангенсів

(a + b)/(a - b) = tg[(A + B)/2]/ tg[(A - B)/2]

Формули наближених розрахунків

Вміло використовуємо математику при розв’язуванні задач з фізики.

При розв’язуванні багатьох задач з фізики з метою швидшого отримання кінцевого результату слід використовувати найпростіші формули наближених розрахунків. Ці формули базуються на наступному твердженні:

для довільних дійсних чисел к та дійсних х, що │х│< 1 справедливою є рівність:

(1 + x)^к = 1 + k∙x/1 + k(k – 1)∙x²/1·2 + ∙∙∙

У випадку, коли │х│‹ 1, а к є порядку одиниці, то в безмежній сумі можна обмежитись лише двома першими складовими, тобто знехтувати доданками, котрі містять х², х³, …, як безмежно малими величинами.

Тоді

(1 + х)^к ≈ 1 + кх , при х << 1.

Справедливими є наступні формули наближених розрахунків:

Розрахунок за даними формулами дає наближений результат, відмінний від точного лише на 0,1%.

Приклад.

Обчислити з наближенням, якщо │а│<< А.

(А + а)/(А – а) = (1 + а/А)/(1 – а/А) ≈ (1 + а/А)(1 + а/А) = (1 + а/А)² ≈ 1 + 2а/А.

Якщо, наприклад, А = 100, а = 1, то (А + а)/(А – а)  ≈ 1,02, а точно (А + а)/(А – а) = 1,020202… 

                        Математика для фізиків                           

                Логарифми (основні формули)          

Розв'язуючи задачі та вправи з фізики та, особливо, з астрономії неможливо обійтись без логарифмів. Основні їх властивості перераховано нижче. 

Особливу увагу слід звернути на графік логарифмічної функції.

Означення:

Log_aN = x        a^x = N 

Логарифмічні функції.

Десятковий логарифм:

Log₁₀N = lgN = x        10^x = N 

Натуральний логарифм:

Log_aN = lnN = x        e^x = N 

Основна тотожність логарифмів:

a^log_a^b = b,       b>0

Логарифмічні функції.

Властивості логарифмів:

• log_aa = 1

• log_a1 = 0

• log_a(b · c) = log_ab + log_ac

• log_a(b ⁄ c) = log_ab - log_ac

• log_ax^p = p · log_ax

• log_ax = log_bx ⁄ log_ba  (формула переходу до нової основи)

• log_ab = 1 ⁄ log_ba

• log_ab = log_a^pb^p = p · log_a^pb

• a^log_a^b = b

• log_ca · log_ab = log_cb

• log_a^α b^β = (β⁄α) · log_ab

• a^log_c^b = b^log_c^a

• log_a^α b = log_ab ⁄ log_aa^α = (1 ⁄ α) · log_ab

• log_ca^log_c^b = log_cb^log_c^a

• log_cb · log_ca = log_ca · log_cb

Увага: log(a+b) ≠ loga + logb

Примітка:     e = lim_n→∞(1 + 1/n)ⁿ = e

Доцільно прочитати

• Дивовижні криві.
• Тілесний кут
• Тригонометрія
• Формули наближених розрахунків